Нестандартный взгляд на базовый раздел математики

Речь пойдет о такой штуке как окружность и связанной с ней базовой константой Пи, без которых нет ни синусов ни косинусов, нет ни электроники ни всего того от чего зависит наша жизнь.

Я пойду по стопам древних и буду вычислять пи тем же методом что и пользовался Архимед и последователи, но цель не найти формулу которая вычислит пи до последнего знака (это невозможно - пи не вычислимо) а показать на простом примере те грабли на которые наступили древние и по которым ходим мы. По моим давним наблюдениям, "грабли" возникают от того, что мы в качестве инструмента для познания чего либо используем то что есть под руками, а оно не всегда для того хорошо подходит. Итак, главные виновники торжества: смотрим на руки, на две свои руки и пять пальцев на каждой. 2*5=10, говорим им спасибо, так как именно им мы обязаны своей привычной десятичной системе исчисления. Далее календарь - 365 дней в году. Древние ошибочно полагали, что в году 360 дней, отсюда пошло наше привычное деление окружности на 360 градусов. 360 если разложить на множители это будет 2*3*2*3*2*5, так как с десятичной системой сие согласуется не очень (есть множители отличные от 2 и 5), то были умники которые придумали грады, когда прямой угол равен 100% (это до сих пор используется у топологов и можно видеть на дорожных знаках предупреждающих об опасном спуске/подъеме) при этом вся окружность 400 град или 2*2*2*5*2*5, уже как бы привычнее но отчего-то не прижилось. А универсальными радианами пользуются математики, но радиана нет без Пи, а само Пи не вычислимо... Далее дополним список простейшим - лист бумаги, линейку и циркуль, на листе чертим прямую и окружность. Внимательно смотрим на то, что получилось. Итак, что мы нарисовали? Прямую? Окружность? Смотрим внимательно. Не разглядели? Ну тогда берем стопку черновиков или какой не сильно нужной бумаги, карандаш, и лезем в теорию по стопам древних...
Я начну с того, что буду искать Пи методом приближения последовательно вписывая в окружность различные правильные многоугольники. Начну с квадрата как и Архимед, и потом буду удваивать число сторон. Без чертежей суть понять очень трудно, а самому их рисовать лень, поэтому я буду приводить что удалось гуглем найти да стырить посему сорри за качество. Архимед последовательно вписывал и описывал многоугольники, я буду действовать так же:

Вписанный квадрат

Реклама

Описанный квадрат

И далее если все это совместить в одном, лучше всего получилось на этом

Периметр вписанного многоугольника всегда меньше длины окружности а описанного всегда больше - очевидно из чертежа, так как кривая окружности проходит через два угла треугольника AEF не совпадая при этом с основанием EF и не выходя за вершину А, а так как сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей то внешний многоугольник всегда будет больше а внутренний всегда меньше и мы имеем как бы "коридор" в который зажата искомая пи, она всегда будет больше чем периметр внутреннего многоугольника и всегда меньше внешнего, далее попробуем эти периметры найти для квадрата. Для удобства диаметр окружности принят равным 1 (потому как Пи это отношение к диаметру окружности а не к радиусу) тогда диагонали квадрата EFKM равны 1 и стороны квадрата ABCD тоже равны 1. Вспоминаем теорему Пифагора и находим сторону квадрата EFKM. Принимаем ее за х, тогда
х^2+x^2=1
2*x^2=1
x^2 =1/2
x=sqrt(1/2)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2 (sqrt() - функция извлечения корня квадратного)
тогда периметр равен L стороны * N сторон, которое для квадрата равно 4 получим
P=4*sqrt(2)/2 = 2*sqrt(2)
Берем калькулятор, считаем, приблизительно получается 2*sqrt(2) = 2.828427 Это первое приближение снизу. Приближение сверху получить проще простого так как сторона внешнего квадрата равна диаметру, то 4*1=4, то есть имеем соотношение 2.828427 < Пи < 4 Это как бы давно известно и ничего нового тут я не открыл. Что же ускользнуло? А то, что отношение периметра к диагонали постоянно и не зависит от диагонали и периметра не только для окружности, но и для любого правильного многоугольника, в том числе и для квадрата. То есть для любого квадрата отношение периметра к диагонали можно выразить формулой
P=2*sqrt(2)*d
то есть можно сказать, что полученное число есть своего рода Пи квадрата, так далее и будем обозначать, пи(4)=2*sqrt(2) что приблизительно равно 2.828427 Число как можно заметить иррациональное, но алгебраическое (то есть вычислимое) а не трансцендентное (не вычислимое) как Пи окружности. Любое иррациональное число нельзя вычислить до конца (то есть получить рациональный эквивалент), оно бесконечно будет приближаться к этому эквиваленту, но никогда его не достигнет. Поэтому мы пользуемся рациональным приближением достаточной точности, например 2.83 если округлить до двух знаков после запятой или как поступаем с Пи округляя до 3.14 И в том и в другом случае уже заложена ошибка, и из природы сих чисел следует что невозможно абсолютно точно найти периметр квадрата по его диагонали или диагональ по стороне.
Далее продолжим делать ровно то же что и Архимед - нарисуем еще один квадрат повернутый относительно первого на половину угла, в данном случае угол квадрата 90 то есть на 45 градусов.