Соединим вершины квадратов (черная линия) и получим восьмиугольник, или многоугольник у которого число сторон равно 2^3 (квадрат это многоугольник с числом сторон 2^2) Аналогично поступим с внешним квадратом, в итоге они расположатся так

соответственно исследуемая окружность между ними (на рисунке не показана). Из рисунка видно, что треугольник AEF для двух квадратов никуда не делся и превратился в треугольник ABC, окружность по прежнему "зажата" между его вершиной B и основанием AC и проходит через точки A и C. Потом мы будем тем же методом увеличивать число сторон многоугольника кратно степени двойки (16,32,64 и т.д.) но это никаким образом не будет влиять на этот треугольник кроме как угол B будет становиться все более тупым и будет уменьшаться высота проведенная из вершины B на основание АС. У этого явления есть предел, но об этом позже. Пока же займемся периметром 8-и угольника. Есть простая универсальная формула для правильных многоугольников P=D*N*sin(180/N) но мы ей пользоваться не можем, ибо синусы углов не зная Пи не посчитать, а мы как раз таки Пи и ищем, то есть нужен иной подход. Поэтому вооружимся теоремой Пифагора и полезем в дебри:

Итак, нам нужно как-то найти AB имея в наличии только AO (равно 1/2 по условию) и AC (длину стороны квадрата мы ранее вычислили - sqrt(2)/2) Так как отрезок OB делит AC пополам (мы проворачивали второй квадрат на половину угла квадрата) то AD тогда равен sqrt(2)/4. Этого достаточно чтобы через теорему Пифагора найти OD, а зная OD можно найти DB (OB также по условию равен 1/2) А зная DB можно через ту же теорему Пифагора добраться наконец таки до AB. Итак поехали:
OD^2 = AO^2-AD^2 = 1/2^2-(sqrt(2)/4)^2 = 1/4-2/16 = 2/8-1/8 = 1/8 тогда
OD = sqrt(1/8) = 1/sqrt(8) = 1/sqrt(4*2) = 1/(2*sqrt(2)) тогда
DB = OB-OD = 1/2-1/(2*sqrt(2)) = (sqrt(2)-1)/(2*sqrt(2)) и находим наконец таки AB
AB^2=AD^2+DB^2 = (sqrt(2)/4)^2+((sqrt(2)-1)/(2*sqrt(2)))^2 = 2/16+(3-2*sqrt(2))/8 = 1/8+(3-2*sqrt(2))/8 = (4-2*sqrt(2))/8 = (2-sqrt(2))/4 тогда
AB = sqrt((2-sqrt(2))/4) = 1/2*sqrt(2-sqrt(2))
Полученное значение AB также есть синус угла 180/8. Проверить так ли это можно например тут http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi8.html
Тогда периметр восьмиугольника будет 8*1/2*sqrt(2-sqrt(2)) = 4*sqrt(2-sqrt(2)). Вооружившись калькулятором считаем, получается что-то около 3.0614674589 что есть рациональное приближение числа Пи для правильного восьмиугольника. Так и запишем, Пи(8) = 4*sqrt(2-sqrt(2)) ~= 3.06
Аналогичным образом находится сторона внешнего восьмиугольника, вывод приводить не буду (кто захочет - сам выведет), равна 8*(sqrt(2)-1) = 3.31370849898476 ~= 3.31
То есть мы удвоили число сторон и сузили коридор в котором находится Пи до 3.06<Пи<3.31
Аналогичным образом удвоив число сторон можно получить для внутреннего 16-и угольника Пи(16) = 8*sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)) а синус угла 180/16 соответственно 1/2*sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)) (убедиться в этом можно тут http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi16.html) Еще раз удвоив число сторон можно придти что синус 180/32 = 1/2*sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))) и Пи(32) соответственно 16*sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))) Проверить можно тут http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi32.html Можно и далее идти этим путем, а можно посмотрев на закономерность развития этой формулы придти к простому выводу, что каждое увеличение степени двойки числа сторон на единицу приводит к дописыванию еще одного вложенного квадратного корня из 2. Устремив степень в бесконечность как бы можно в конце концов найти Пи. Я что-то новое открыл? Нисколько. Я всего лишь вывел давно известную формулу Виетта https://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula и лишь наглядно показал ее геометрический смысл - каждый N угольник в любой подобной формуле имеет свое алгебраическое значение Пи в отличие от Пи окружности, которое трансцендентное. Тогда по сути Пи не есть константа, а некая функция, и вполне можно построить ее график. Например так